Ein kontrollierter Vergleich
Um Verzerrung zu erkennen, brauchen wir ein bekanntes Ausgangsobjekt. Im Labor sind das Kreisscheiben auf der Kugel mit jeweils 3° Winkelradius. Auf der Erde unseres Modells haben sie dieselbe Fläche. Mercator vergrößert ihre Darstellung mit wachsendem Abstand zum Äquator. Equal Earth erhält ihre Flächenverhältnisse, verändert aber ihre Formen.
Die orange Scheibe lässt sich mit dem Zeiger oder über Breiten- und Längengrad verschieben. Vergleiche zunächst 0°, 30° und 60° Breite. Zoome danach hinein: Die Zeichnung wird größer, die separat berechneten lokalen Kennzahlen bleiben gleich.
Was Tissots Idee leistet
Die klassische Tissot-Indikatrix beschreibt, wie eine unendlich kleine Kreisscheibe im lokalen Grenzfall zur Ellipse wird. Ihre beiden Hauptachsen zeigen die stärkste und schwächste Streckung. Ein Kreis bleibt im Grenzfall kreisförmig, wenn die Projektion lokal winkeltreu ist; seine Größe darf sich dabei trotzdem ändern.
Unsere sichtbaren 3°-Scheiben sind endliche Objekte. Sie sind deshalb keine exakten infinitesimalen Tissot-Indikatrizen. Für die Kennzahlen verwenden wir separat die lokalen Ableitungen der Projektion in Ost- und Nordrichtung. So trennen wir ein anschauliches Bild von der mathematischen Messung.
Das kleine Kartenlabor
Eine Fläche auf Reisen.
Vergleiche beide Flächen innerhalb einer Karte. Auf dem Globus sind sie gleich groß.
Drei Zahlen, drei Fragen
Der lokale Flächenfaktor beantwortet, wie sich eine sehr kleine Fläche gegenüber der Kugel verändert. Für Mercator beträgt er im verwendeten Modell 1/cos²(φ). Am Äquator ist er 1, bei 60° Breite 4. Equal Earth hat bei seiner mathematischen Normierung überall den Faktor 1.
Größte geteilt durch kleinste Streckung beschreibt die Formverzerrung. Der Wert 1 bedeutet lokal gleiche Streckung in jeder Richtung. Maximale Winkelverzerrung beschreibt die größte Änderung eines Winkels zwischen zwei Richtungen am Messpunkt. Mercator liefert idealerweise 1 beziehungsweise 0° für diese beiden Größen; numerische Rundung kann winzige Abweichungen erzeugen.
Warum Afrika als Referenz die Kennzahl verändert
Im Ländervergleich skalieren wir die beiden Karten so, dass das gezeichnete Afrika-Aggregat im Basisbild gleich viel Fläche belegt. Der Quotient „Mercator / Equal Earth“ eines Landes enthält daher auch diese Wahl der Darstellungsmaßstäbe. Er ist kein reiner lokaler Verzerrungsfaktor.
In der Lupe messen wir hingegen die mathematischen Projektionen unabhängig vom Bildschirmmaßstab. Außerdem misst eine lokale Ableitung nur einen Punkt. Die Fläche eines ausgedehnten Landes summiert viele Orte und kann Küsten, Inseln oder einen Projektionsrand enthalten. Beide Kennzahlen sind sinnvoll, beantworten aber verschiedene Fragen.
Was sich damit belegen lässt
Die Messung zeigt eine geometrische Eigenschaft der Karte. Sie beweist allein noch nicht, welche politischen Urteile Menschen daraus ableiten oder wie stark sich ihr geografisches Gedächtnis verändert. Solche Aussagen brauchen zusätzlich Untersuchungen mit Menschen, passenden Vergleichsgruppen und nachvollziehbarer Methodik.
Für die Kartenauswahl folgt eine konkrete Frage: Welche Eigenschaft muss für die beabsichtigte Aufgabe erhalten bleiben? Für Flächenvergleiche ist Flächentreue hilfreich. Für lokale Richtungen kann Winkeltreue relevant sein. Eine einzelne Weltkarte erfüllt diese Ziele nicht gleichzeitig überall.
